Latihan 55. Grup berorde \(2p\).

Dalam rangkaian latihan ini, kita akan mengklasifikasikan semua grup berorde \(2p\text{,}\) dengan \(p\) suatu bilangan prima ganjil.
  1. Andaikan \(G\) merupakan grup berorde \(2p\text{,}\) dengan \(p\) suatu bilangan prima ganjil. Jika \(a \in G\text{,}\) tunjukkan bahwa \(a\) harus berorde \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(p\text{,}\) atau \(2p\text{.}\)
  2. Misalkan \(G\) memiliki elemen berorde \(2p\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_{2p}\text{.}\) Dengan demikian, \(G\) bersifat siklik.
  3. Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) harus memuat elemen berorde \(p\text{.}\) Petunjuk: Andaikan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(p\text{.}\)
  4. Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) harus memuat elemen berorde \(2\text{.}\)
  5. Misalkan \(P\) merupakan subgrup dari \(G\) yang berorde \(p\text{,}\) dan \(y \in G\) berorde \(2\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(yP = Py\text{.}\)
  6. Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\) dan \(P = \langle z \rangle\) merupakan subgrup berorde \(p\) yang dibangkitkan oleh \(z\text{.}\) Jika \(y\) merupakan elemen berorde \(2\text{,}\) maka \(yz = z^ky\) untuk suatu \(2 \leq k \lt p\text{.}\)
  7. Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) tidak abelian.
  8. Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\) dan \(P = \langle z \rangle\) merupakan subgrup berorde \(p\) yang dibangkitkan oleh \(z\text{,}\) serta \(y\) merupakan elemen berorde \(2\text{.}\) Tunjukkan bahwa kita dapat mendaftarkan elemen-elemen \(G\) sebagai \(\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}\)
  9. Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\) dan \(P = \langle z \rangle\) merupakan subgrup berorde \(p\) yang dibangkitkan oleh \(z\text{,}\) serta \(y\) merupakan elemen berorde \(2\text{.}\) Buktikan bahwa hasil kali \((z^iy^j)(z^ry^s)\) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai \(z^m y^n\) untuk suatu bilangan bulat taknegatif \(m, n\text{.}\) Dengan demikian, simpulkan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk grup nonabelian berorde \(2p\text{,}\) sehingga grup tersebut pastilah grup yang sudah kita jumpai, yaitu grup dihedral.
Dalam Konteks