(1) Misalkan \(e\) dan \(e'\) masing-masing merupakan identitas dalam \(G_1\) dan \(G_2\text{;}\) maka
\begin{equation*}
e' \phi(e) = \phi(e) = \phi(e e) = \phi(e) \phi(e)\text{.}
\end{equation*}
Berdasarkan hukum pencoretan, \(\phi(e) = e'\text{.}\)
(2) Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa
\begin{equation*}
\phi( g^{-1}) \phi(g) = \phi(g^{-1} g) = \phi(e) = e'\text{.}
\end{equation*}
(3) Himpunan \(\phi(H_1)\) tidak kosong karena identitas dalam \(G_2\) berada dalam \(\phi(H_1)\text{.}\) Misalkan \(H_1\) adalah subgrup dari \(G_1\text{,}\) dan ambil \(x\) serta \(y\) dalam \(\phi(H_1)\text{.}\) Terdapat elemen \(a,
b \in H_1\) sedemikian sehingga \(\phi(a) = x\) dan \(\phi(b)=y\text{.}\) Karena
\begin{equation*}
xy^{-1} = \phi(a)[ \phi(b)]^{-1} = \phi(a b^{-1} ) \in \phi(H_1)\text{,}
\end{equation*}
(4) Misalkan \(H_2\) adalah subgrup dari \(G_2\) dan definisikan \(H_1\) sebagai \(\phi^{-1}(H_2)\text{;}\) yaitu, \(H_1\) merupakan himpunan semua \(g \in G_1\) sedemikian sehingga \(\phi(g) \in H_2\text{.}\) Identitas berada dalam \(H_1\) karena \(\phi(e) = e'\text{.}\) Jika \(a\) dan \(b\) berada dalam \(H_1\text{,}\) maka \(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)[ \phi(b) ]^{-1}\) berada dalam \(H_2\) karena \(H_2\) merupakan subgrup dari \(G_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(ab^{-1} \in H_1\) dan \(H_1\) merupakan subgrup dari \(G_1\text{.}\) Jika \(H_2\) normal dalam \(G_2\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa \(g^{-1} h g \in H_1\) untuk \(h \in H_1\) dan \(g \in G_1\text{.}\) Namun,
\begin{equation*}
\phi( g^{-1} h g) = [ \phi(g) ]^{-1} \phi( h ) \phi( g ) \in H_2\text{,}
\end{equation*}
karena \(H_2\) merupakan subgrup normal dari \(G_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(g^{-1}hg \in H_1\text{.}\)