Proposisi 3.1.4.

Misalkan \({\mathbb Z}_n\) adalah himpunan kelas ekuivalensi bilangan bulat modulo \(n\) dan \(a, b, c \in {\mathbb Z}_n\text{.}\)
  1. Penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif:
    \begin{align*} a + b & \equiv b + a \pmod{ n}\\ a b & \equiv b a \pmod{ n}\text{.} \end{align*}
  2. Penjumlahan dan perkalian bersifat asosiatif:
    \begin{align*} (a + b) + c & \equiv a + (b + c)\pmod{ n}\\ (a b) c & \equiv a (b c) \pmod{ n}\text{.} \end{align*}
  3. Terdapat identitas penjumlahan dan identitas perkalian:
    \begin{align*} a + 0 & \equiv a \pmod{ n}\\ a \cdot 1 & \equiv a \pmod{ n}\text{.} \end{align*}
  4. Perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan:
    \begin{equation*} a (b + c) \equiv a b + a c \pmod{ n}\text{.} \end{equation*}
  5. Untuk setiap bilangan bulat \(a\text{,}\) terdapat invers penjumlahan \(-a\text{:}\)
    \begin{equation*} a + (-a) \equiv 0 \pmod{ n}\text{.} \end{equation*}
  6. Misalkan \(a\) adalah bilangan bulat tak nol. Maka \(\gcd(a,n) = 1\) jika dan hanya jika terdapat invers perkalian \(b\) untuk \(a \pmod{n}\text{;}\) yaitu, bilangan bulat tak nol \(b\) sedemikian sehingga
    \begin{equation*} a b \equiv 1 \pmod{ n}\text{.} \end{equation*}

Bukti.
Kita akan membuktikan (1) dan (6), sedangkan pembuktian sifat-sifat lainnya diserahkan sebagai latihan.
(1) Penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif modulo \(n\) karena sisa pembagian \(a + b\) oleh \(n\) sama dengan sisa pembagian \(b + a\) oleh \(n\text{.}\)
(6) Andaikan \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Maka terdapat bilangan bulat \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(ar + ns = 1\text{.}\) Karena \(ns = 1 - ar\text{,}\) haruslah \(ar \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\) Dengan mengambil \(b\) sebagai kelas ekuivalensi dari \(r\text{,}\) \(a b \equiv 1\pmod{n}\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan terdapat bilangan bulat \(b\) sedemikian sehingga \(ab \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}\) Maka \(n\) membagi \(ab -1\text{,}\) sehingga terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(ab - nk = 1\text{.}\) Misalkan \(d = \gcd(a,n)\text{.}\) Karena \(d\) membagi \(ab - nk\text{,}\) \(d\) juga harus membagi \(1\text{;}\) dengan demikian, \(d = 1\text{.}\)
Dalam Konteks