Mula-mula andaikan \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Kita ingin menunjukkan bahwa \(gh^{-1} \in H\) setiap kali \(g\) dan \(h\) berada dalam \(H\text{.}\) Karena \(h\) berada dalam \(H\text{,}\) inversnya \(h^{-1}\) juga harus berada dalam \(H\text{.}\) Karena operasi grup bersifat tertutup, \(gh^{-1} \in H\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan \(H \subset G\) sedemikian sehingga \(H \neq \emptyset\) dan \(g h^{-1} \in H\) setiap kali \(g, h \in H\text{.}\) Jika \(g \in H\text{,}\) maka \(gg^{-1} = e\) berada dalam \(H\text{.}\) Jika \(g \in H\text{,}\) maka \(eg^{-1} = g^{-1}\) juga berada dalam \(H\text{.}\) Sekarang misalkan \(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa hasil kali keduanya juga berada dalam \(H\text{.}\) Namun, \(h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}\) Dengan demikian, \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\)