Salah satu cara menentukan apakah dua grup sama adalah dengan memeriksa subgrup-subgrupnya. Selain subgrup trivial dan grup itu sendiri, grup \({\mathbb Z}_4\) mempunyai satu subgrup yang terdiri atas unsur \(0\) dan \(2\text{.}\) Dari grup \({\mathbb Z}_2\text{,}\) kita dapat membentuk grup lain dengan empat unsur sebagai berikut. Sebagai himpunan, grup ini adalah \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Operasi grup dilakukan menurut koordinat; yaitu, \((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) Gambar 3.3.6 adalah tabel penjumlahan untuk \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Karena terdapat tiga subgrup sejati nontrivial dari \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}\) \(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\) \(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}\) dan \(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\) \({\mathbb Z}_4\) dan \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) pastilah merupakan grup yang berbeda.