Karena
\(f(x)\) dapat diselesaikan dengan radikal, terdapat suatu perluasan dengan radikal
\(E\) dari
\(F\text{,}\) yaitu
\(F = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n = E\text{.}\) Menurut
Lema 23.3.3, kita dapat mengasumsikan bahwa
\(E\) merupakan lapangan pemisah dari
\(f(x)\) dan
\(F_i\) normal atas
\(F_{i - 1}\text{.}\) Menurut Teorema Fundamental Teori Galois,
\(G(E/F_i)\) merupakan subgrup normal dari
\(G(E/F_{i - 1})\text{.}\) Oleh karena itu, kita memiliki deret subnormal subgrup dari
\(G(E/F)\text{:}\)
\begin{equation*}
\{ \identity \} \subset G(E/F_{n - 1}) \subset \cdots \subset G(E/F_1) \subset G(E/F)\text{.}
\end{equation*}
Sekali lagi menurut Teorema Fundamental Teori Galois, kita mengetahui bahwa
\begin{equation*}
G(E/F_{i - 1})/G(E/F_i) \cong G(F_i/F_{i - 1})\text{.}
\end{equation*}
Menurut
Lema 23.3.2,
\(G(F_i/F_{i - 1})\) dapat diselesaikan; jadi,
\(G(E/F)\) juga dapat diselesaikan.