Misalkan \(f(x)\) suatu polinomial dalam \(F[x]\) dan andaikan \(E\) merupakan lapangan pemisah untuk \(f(x)\) atas \(F\text{.}\) Jika \(f(x)\) tidak memiliki akar berulang, maka
Kita akan menggunakan induksi matematika pada \([E:F]\text{.}\) Jika \([E:F] = 1\text{,}\) maka \(E = F\) dan tidak ada yang perlu dibuktikan. Jika \([E:F] \gt 1\text{,}\) misalkan \(f(x) = p(x)q(x)\text{,}\) dengan \(p(x)\) tak tereduksi dan berderajat \(d\text{.}\) Kita dapat mengasumsikan bahwa \(d \gt 1\text{;}\) jika tidak, \(f(x)\) terurai atas \(F\) dan \([E:F] = 1\text{.}\) Misalkan \(\alpha\) suatu akar dari \(p(x)\text{.}\) Jika \(\phi: F(\alpha) \to E\) sebarang homomorfisma injektif, maka \(\phi( \alpha) = \beta\) merupakan akar dari \(p(x)\text{,}\) dan \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta)\) merupakan automorfisme lapangan. Karena \(f(x)\) tidak memiliki akar berulang, \(p(x)\) memiliki tepat \(d\) akar \(\beta \in E\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 23.1.5, terdapat tepat \(d\) isomorfisma \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta_i)\) yang menetapkan \(F\text{,}\) satu untuk setiap akar \(\beta_1, \ldots, \beta_d\) dari \(p(x)\) (lihat Gambar 23.1.8).
\begin{equation*}
\begin{CD}
E @>\psi>> E \\
@VVV @VVV\\
F(\alpha) @>\phi>> F(\beta) \\
@VVV @VVV\\
F @>\text{identitas}>> F
\end{CD}
\end{equation*}
Karena \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\) atas \(F\text{,}\) lapangan tersebut juga merupakan lapangan pemisah atas \(F(\alpha)\text{.}\) Serupa dengan itu, \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\) atas \(F(\beta)\text{.}\) Karena \([E: F(\alpha)] = [E:F]/d\text{,}\) induksi menunjukkan bahwa setiap dari \(d\) isomorfisma \(\phi\) memiliki tepat \([E:F]/d\) perluasan, \(\psi : E \to E\text{,}\) dan kita telah menyusun \([E:F]\) isomorfisma yang menetapkan \(F\text{.}\) Akhirnya, andaikan \(\sigma\) sebarang automorfisme yang menetapkan \(F\text{.}\) Maka pembatasan \(\sigma\) pada \(F(\alpha)\) adalah \(\phi\) untuk suatu \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta)\text{.}\)