Karena \(E\) merupakan perluasan dengan radikal dari \(F\text{,}\) terdapat rantai sublapangan
\begin{equation*}
F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r = E
\end{equation*}
sedemikian sehingga untuk \(i = 1, 2, \ldots, r\text{,}\) berlaku \(F_i = F_{i - 1}(\alpha_i)\) dan \(\alpha_i^{n_i} \in F_{i-1}\) untuk suatu bilangan bulat positif \(n_i\text{.}\) Kita akan membangun suatu perluasan normal dengan radikal dari \(F\text{,}\)
\begin{equation*}
F = K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_r = K
\end{equation*}
sedemikian sehingga \(K \supseteq E\text{.}\) Definisikan \(K_1\) sebagai lapangan pemisah dari \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\text{.}\) Akar-akar polinomial ini adalah \(\alpha_1, \alpha_1 \omega, \alpha_1 \omega^2, \ldots, \alpha_1 \omega^{n_1 - 1}\text{,}\) dengan \(\omega\) suatu akar kesatuan primitif pangkat \(n_1\text{.}\) Jika \(F\) memuat semua akar kesatuan pangkat \(n_1\text{,}\) maka \(K_1 = F(\alpha_1)\text{.}\) Di sisi lain, andaikan bahwa \(F\) tidak memuat akar kesatuan primitif pangkat \(n_1\text{.}\) Jika \(\beta\) adalah suatu akar dari \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\text{,}\) maka semua akar dari \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\) harus berupa \(\beta, \omega \beta, \ldots, \omega^{n_1-1} \beta\text{,}\) dengan \(\omega\) suatu akar kesatuan primitif pangkat \(n_1\text{.}\) Dalam hal ini, \(K_1 = F(\omega \beta)\text{.}\) Jadi, \(K_1\) merupakan perluasan normal dengan radikal dari \(F\) yang memuat \(F_1\text{.}\) Dengan melanjutkan cara ini, kita memperoleh
\begin{equation*}
F = K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_r = K
\end{equation*}
sedemikian sehingga \(K_i\) merupakan perluasan normal dari \(K_{i-1}\) dan \(K_i \supseteq F_i\) untuk \(i = 1, 2, \ldots, r\text{.}\)