Dalam contoh ini kita akan mengilustrasikan Teorema Fundamental Teori Galois dengan menentukan kisi subgrup dari grup Galois untuk \(f(x) = x^4 - 2\text{.}\) Kita akan membandingkan kisi ini dengan kisi perluasan lapangan dari \({\mathbb Q}\) yang termuat dalam lapangan pemisah dari \(x^4-2\text{.}\) Lapangan pemisah dari \(f(x)\) adalah \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\) Untuk melihat hal ini, perhatikan bahwa \(f(x)\) dapat difaktorkan sebagai \((x^2 + \sqrt{2}\, )(x^2 - \sqrt{2}\, )\text{;}\) jadi, akar-akar dari \(f(x)\) adalah \(\pm \sqrt[4]{2}\) dan \(\pm \sqrt[4]{2}\, i\text{.}\) Pertama-tama kita adjoin akar \(\sqrt[4]{2}\) pada \({\mathbb Q}\text{,}\) lalu mengadjoin akar \(i\) dari \(x^2 + 1\) pada \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )\text{.}\) Dengan demikian, lapangan pemisah dari \(f(x)\) adalah \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )(i) = {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\)

Grup Galois \(G\) dari \(f(x)\) harus berorde \(8\text{.}\) Misalkan \(\sigma\) automorfisme yang didefinisikan oleh \(\sigma( \sqrt[4]{2}\, ) = i \sqrt[4]{2}\) dan \(\sigma( i ) = i\text{,}\) serta \(\tau\) automorfisme yang didefinisikan oleh konjugasi kompleks; yaitu, \(\tau(i ) = -i\text{.}\) Maka \(G\) memiliki suatu elemen berorde \(4\) dan suatu elemen berorde \(2\text{.}\) Mudah diverifikasi melalui perhitungan langsung bahwa elemen-elemen dari \(G\) adalah \(\{ \identity, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma \tau, \sigma^2 \tau, \sigma^3 \tau \}\) dan bahwa relasi-relasi \(\tau^2 = \identity\text{,}\) \(\sigma^4 = \identity\text{,}\) dan \(\tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\) dipenuhi; jadi, \(G\) harus isomorfik dengan \(D_4\text{.}\) Kisi subgrup dari \(G\) diilustrasikan dalam Gambar 23.2.13(b).