Contoh 23.1.4.
Perhatikan lapangan-lapangan \({\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}(\sqrt{5}\, ) \subset {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\text{.}\) Untuk \(a, b \in {\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\text{,}\)
\begin{equation*}
\sigma( a + b \sqrt{3}\, ) = a - b \sqrt{3}
\end{equation*}
merupakan automorfisme dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) yang membiarkan \({\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\) tetap. Serupa dengan itu,
\begin{equation*}
\tau( a + b \sqrt{5}\, ) = a - b \sqrt{5}
\end{equation*}
merupakan automorfisme dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) yang membiarkan \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) tetap. Automorfisme \(\mu = \sigma \tau\) memindahkan \(\sqrt{3}\) maupun \(\sqrt{5}\text{.}\) Sebentar lagi akan jelas bahwa \(\{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) merupakan grup Galois dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Tabel berikut menunjukkan bahwa grup ini isomorfik dengan \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
& \identity & \sigma & \tau & \mu \\
\hline
\identity & \identity & \sigma & \tau & \mu \\
\sigma & \sigma & \identity & \mu & \tau \\
\tau & \tau & \mu & \identity & \sigma \\
\mu & \mu & \tau & \sigma & \identity
\end{array}
\end{equation*}
Kita juga dapat memandang lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) sebagai ruang vektor atas \({\mathbb Q}\) yang memiliki basis \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\, \}\text{.}\) Bukan suatu kebetulan bahwa \(|G( {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) /{\mathbb Q})| = [{\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q})] = 4\text{.}\)