Contoh 23.1.11.
Mari kita hitung grup Galois dari
\begin{equation*}
f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\end{equation*}
atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(f(x)\) tak tereduksi berdasarkan Latihan 17.5.20. Selanjutnya, karena \((x -1)f(x) = x^5 - 1\text{,}\) kita dapat menggunakan Teorema De Moivre untuk menentukan bahwa akar-akar \(f(x)\) adalah \(\omega^i\text{,}\) dengan \(i = 1, \ldots, 4\) dan
\begin{equation*}
\omega = \cos(2 \pi / 5 ) + i \sin(2 \pi / 5 )\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, lapangan pemisah dari \(f(x)\) haruslah \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan automorfisme \(\sigma_i\) dari \({\mathbb Q}(\omega )\) melalui \(\sigma_i( \omega ) = \omega^i\) untuk \(i = 1, \ldots, 4\text{.}\) Mudah untuk memeriksa bahwa pemetaan-pemetaan ini memang merupakan automorfisme berbeda dalam \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Karena
\begin{equation*}
[{\mathbb Q}( \omega) : {\mathbb Q}] = | G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})| = 4\text{,}
\end{equation*}
automorfisme-automorfisme \(\sigma_i\) tersebut harus mencakup semua unsur \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Oleh karena itu, \(G({\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})\cong {\mathbb Z}_4\) karena \(\omega\) merupakan pembangkit grup Galois.