Misalkan
\(f(x) = x^{p^n} - x\) dan misalkan
\(F\) lapangan pemisah dari
\(f(x)\text{.}\) Maka menurut
Lema 22.1.5,
\(f(x)\) mempunyai
\(p^n\) akar berbeda dalam
\(F\text{,}\) karena
\(f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1\) relatif prima dengan
\(f(x)\text{.}\) Kita mengklaim bahwa akar-akar
\(f(x)\) membentuk sublapangan dari
\(F\text{.}\) Jelas bahwa 0 dan 1 merupakan akar dari
\(f(x)\text{.}\) Jika
\(\alpha\) dan
\(\beta\) merupakan akar dari
\(f(x)\text{,}\) maka
\(\alpha + \beta\) dan
\(\alpha \beta\) juga merupakan akar dari
\(f(x)\text{,}\) karena
\(\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}\) dan
\(\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}\) Kita juga perlu menunjukkan bahwa invers aditif dan invers multiplikatif dari setiap akar
\(f(x)\) merupakan akar dari
\(f(x)\text{.}\) Untuk sebarang akar
\(\alpha\) dari
\(f(x)\text{,}\) kita mengetahui bahwa
\(-\alpha\) juga merupakan akar dari
\(f(x)\text{,}\) karena
\begin{equation*}
f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0\text{,}
\end{equation*}
asalkan \(p\) ganjil. Jika \(p = 2\text{,}\) maka
\begin{equation*}
f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0\text{.}
\end{equation*}
Jika \(\alpha \neq 0\text{,}\) maka \((\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}\) Karena akar-akar \(f(x)\) membentuk sublapangan dari \(F\) dan \(f(x)\) terurai dalam sublapangan ini, sublapangan tersebut haruslah seluruh \(F\text{.}\)
Misalkan
\(E\) sebarang lapangan lain berorde
\(p^n\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa
\(E\) isomorfik dengan
\(F\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa setiap elemen dalam
\(E\) merupakan akar dari
\(f(x)\text{.}\) Jelas bahwa 0 merupakan akar dari
\(f(x)\text{.}\) Misalkan
\(\alpha\) elemen tak nol dari
\(E\text{.}\) Orde grup multiplikatif elemen tak nol dari
\(E\) adalah
\(p^n-1\text{;}\) jadi,
\(\alpha^{p^n-1} =1\) atau
\(\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}\) Karena
\(E\) memuat
\(p^n\) elemen,
\(E\) harus merupakan lapangan pemisah dari
\(f(x)\text{;}\) tetapi, menurut
Korolari 21.2.8, lapangan pemisah sebarang polinomial tunggal hingga isomorfisma.