Kita akan melakukan induksi pada \(n\text{.}\) Jika \(n = 2\text{,}\) maka determinannya adalah \(\alpha_2 - \alpha_1\text{.}\) Andaikan hasil tersebut berlaku untuk \(n - 1\) dan tinjau polinomial \(p(x)\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
p(x) = \det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\
\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_{n-1} & x \\
\alpha_1^2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_{n-1}^2 & x^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\alpha_1^{n-1} & \alpha_2^{n-1} & \cdots & \alpha_{n-1}^{n-1} & x^{n-1}
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Dengan mengembangkan determinan ini menurut kofaktor pada kolom terakhir, kita melihat bahwa \(p(x)\) merupakan polinomial berderajat paling tinggi \(n-1\text{.}\) Selain itu, akar-akar \(p(x)\) adalah \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}\text{,}\) karena menyubstitusikan salah satu elemen ini pada kolom terakhir akan menghasilkan kolom yang identik dengan kolom terakhir dalam matriks. Ingat bahwa determinan suatu matriks bernilai nol jika matriks tersebut mempunyai dua kolom yang identik. Oleh karena itu,
\begin{equation*}
p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_{n-1}) \beta\text{,}
\end{equation*}
dengan
\begin{equation*}
\beta = (-1)^{n + n} \det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_{n-1} \\
\alpha_1^2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_{n-1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_1^{n-2} & \alpha_2^{n-2} & \cdots & \alpha_{n-1}^{n-2}
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Berdasarkan hipotesis induksi kita,
\begin{equation*}
\beta = (-1)^{n+n} \prod_{1 \leq j \lt i \leq n - 1} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}
\end{equation*}
Jika kita mengambil \(x = \alpha_n\text{,}\) hasil tersebut langsung diperoleh.