Misalkan \(f(x)\) separabel. Maka \(f(x)\) dapat difaktorkan di atas suatu lapangan perluasan dari \(F\) sebagai \(f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}\) dengan \(\alpha_i \neq \alpha_j\) untuk \(i \neq j\text{.}\) Dengan mengambil turunan \(f(x)\text{,}\) kita melihat bahwa
\begin{align*}
f'(x) & = (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\\
& + (x - \alpha_1) (x - \alpha_3) \cdots (x - \alpha_n)\\
& + \cdots + (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_{n - 1})\text{.}
\end{align*}
Jadi, \(f(x)\) dan \(f'(x)\) tidak mungkin mempunyai faktor persekutuan.
Untuk membuktikan kebalikannya, kita akan menunjukkan bahwa kontraposisi pernyataan tersebut benar. Andaikan bahwa \(f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}\) dengan \(k \gt 1\text{.}\) Dengan menurunkannya, kita memperoleh
\begin{equation*}
f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x)\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, \(f(x)\) dan \(f'(x)\) mempunyai faktor persekutuan.