Contoh 22.2.2.
Jika kita mengambil \(g(x)= 1 + x^3\text{,}\) kita dapat mendefinisikan kode-\((6,3)\) \(C\) sebagai berikut. Untuk mengodekan tupel-\(3\) \(( a_0, a_1, a_2 )\text{,}\) kita mengalikan polinomial yang bersesuaian, \(f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2\text{,}\) dengan \(1 + x^3\text{.}\) Kita mendefinisikan pemetaan \(\phi : {\mathbb Z}_2^3 \rightarrow {\mathbb Z}_2^6\) dengan \(\phi : f(x) \mapsto g(x) f(x)\text{.}\) Mudah diperiksa bahwa pemetaan ini merupakan homomorfisma grup. Bahkan, jika kita memandang \({\mathbb Z}_2^n\) sebagai ruang vektor atas \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \(\phi\) merupakan transformasi linear ruang vektor (lihat Latihan 20.5.15). Mari kita hitung kernel \(\phi\text{.}\) Perhatikan bahwa \(\phi ( a_0, a_1, a_2 ) = (\codeword{000000})\) tepat ketika
\begin{align*}
0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + 0 x^5 & = (1 + x^3) ( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 )\\
& = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_0 x^3 + a_1 x^4 + a_2 x^5\text{.}
\end{align*}
Karena polinomial di atas suatu lapangan membentuk daerah integral, \(a_0 + a_1 x + a_2 x^2\) harus merupakan polinomial nol. Oleh karena itu, \(\ker \phi = \{ (\codeword{000}) \}\) dan \(\phi\) satu-ke-satu.
Untuk menghitung matriks pembangkit bagi \(C\text{,}\) kita hanya perlu mengkaji cara polinomial \(1\text{,}\) \(x\text{,}\) dan \(x^2\) dikodekan:
\begin{align*}
(1 + x^3) \cdot 1 & = 1 + x^3\\
(1 + x^3)x & = x + x^4\\
(1 + x^3)x^2 & = x^2 + x^5\text{.}
\end{align*}
Kita memperoleh kode yang bersesuaian dengan matriks pembangkit \(G_1\) dalam Contoh 22.2.1. Matriks pemeriksa paritas untuk kode ini adalah
\begin{equation*}
H
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Karena bobot terkecil sebarang kata kode tak nol adalah \(2\text{,}\) kode ini mampu mendeteksi semua galat tunggal.