Misalkan \(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}\) suatu basis untuk \(E\) sebagai ruang vektor atas \(F\) dan \(\{ \beta_1, \ldots, \beta_m \}\) suatu basis untuk \(K\) sebagai ruang vektor atas \(E\text{.}\) Kita mengklaim bahwa \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) merupakan basis untuk \(K\) atas \(F\text{.}\) Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa vektor-vektor ini merentang \(K\text{.}\) Misalkan \(u \in K\text{.}\) Maka \(u = \sum_{j = 1}^{m} b_j \beta_j\) dan \(b_j = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i\text{,}\) dengan \(b_j \in E\) dan \(a_{ij} \in F\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
u = \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = \sum_{i,j} a_{ij} ( \alpha_i \beta_j )\text{.}
\end{equation*}
Jadi, \(mn\) vektor \(\alpha_i \beta_j\) harus merentang \(K\) atas \(F\text{.}\)
Kita harus menunjukkan bahwa \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) bebas linear. Ingat bahwa suatu himpunan vektor \(v_1, v_2, \ldots,
v_n\) dalam ruang vektor \(V\) bebas linear jika
\begin{equation*}
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0
\end{equation*}
mengakibatkan
\begin{equation*}
c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\text{.}
\end{equation*}
Misalkan
\begin{equation*}
u = \sum_{i,j} c_{ij} ( \alpha_i \beta_j ) = 0
\end{equation*}
untuk \(c_{ij} \in F\text{.}\) Kita perlu membuktikan bahwa semua \(c_{ij}\) bernilai nol. Kita dapat menulis ulang \(u\) sebagai
\begin{equation*}
\sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} c_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = 0\text{,}
\end{equation*}
dengan \(\sum_i c_{ij} \alpha_i \in E\text{.}\) Karena setiap \(\beta_j\) bebas linear atas \(E\text{,}\) haruslah
\begin{equation*}
\sum_{i = 1}^n c_{ij} \alpha_i = 0
\end{equation*}
untuk semua \(j\text{.}\) Akan tetapi, setiap \(\alpha_j\) juga bebas linear atas \(F\text{.}\) Oleh karena itu, \(c_{ij} = 0\) untuk semua \(i\) dan \(j\text{,}\) yang menyelesaikan pembuktian.