Karena \(\phi_{\alpha} ( F[x] ) \cong F( \alpha )\text{,}\) setiap elemen di \(E = F( \alpha )\) harus berbentuk \(\phi_{\alpha} ( f(x) ) = f( \alpha )\text{,}\) dengan \(f(\alpha)\) polinomial dalam \(\alpha\) yang koefisiennya berada di \(F\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*}
p(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0
\end{equation*}
adalah polinomial minimal dari \(\alpha\text{.}\) Maka \(p( \alpha ) = 0\text{;}\) jadi,
\begin{equation*}
{\alpha}^n = - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0\text{.}
\end{equation*}
Demikian pula,
\begin{align*}
{\alpha}^{n + 1} & = {\alpha} {\alpha}^n\\
& = - a_{n - 1} {\alpha}^n - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\\
& = - a_{n - 1}( - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0) - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\text{.}
\end{align*}
Dengan melanjutkan cara ini, kita dapat menyatakan setiap monomial \({\alpha}^m\text{,}\) \(m \geq n\text{,}\) sebagai kombinasi linear pangkat-pangkat \({\alpha}\) yang kurang dari \(n\text{.}\) Jadi, setiap \(\beta \in F( \alpha )\) dapat ditulis sebagai
\begin{equation*}
\beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n - 1} \alpha^{n - 1}\text{.}
\end{equation*}
Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan
\begin{equation*}
\beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n-1} \alpha^{n-1} = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n - 1} \alpha^{n - 1}
\end{equation*}
untuk \(b_i\) dan \(c_i\) di \(F\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
g(x) = (b_0 - c_0) + (b_1 - c_1) x + \cdots + (b_{n - 1} - c_{n - 1})x^{n - 1}
\end{equation*}
berada di \(F[x]\) dan \(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Karena derajat \(g(x)\) kurang dari derajat \(p( x )\text{,}\) yaitu polinomial tak tereduksi dari \(\alpha\text{,}\) \(g(x)\) harus merupakan polinomial nol. Akibatnya,
\begin{equation*}
b_0 - c_0 = b_1 - c_1 = \cdots = b_{n - 1} - c_{n - 1} = 0\text{,}
\end{equation*}
atau \(b_i = c_i\) untuk \(i = 0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) Oleh karena itu, kita telah menunjukkan ketunggalan.