Misalkan \(\phi : E \rightarrow F\) suatu isomorfisma lapangan, \(p(x)\) polinomial takkonstan di \(E[x]\text{,}\) dan \(q(x)\) polinomial yang bersesuaian di \(F[x]\) di bawah isomorfisma tersebut. Jika \(K\) merupakan lapangan pemisah dari \(p(x)\) dan \(L\) merupakan lapangan pemisah dari \(q(x)\text{,}\) maka \(\phi\) meluas menjadi isomorfisma \(\psi : K \rightarrow L\text{.}\)
Bukti.
Kita akan menggunakan induksi matematika pada derajat \(p(x)\text{.}\) Kita dapat mengasumsikan bahwa \(p(x)\) tak tereduksi atas \(E\text{.}\) Oleh karena itu, \(q(x)\) juga tak tereduksi atas \(F\text{.}\) Jika \(\deg p(x) = 1\text{,}\) berdasarkan definisi lapangan pemisah, \(K = E\) dan \(L = F\text{,}\) sehingga tidak ada yang perlu dibuktikan.
Asumsikan teorema berlaku untuk semua polinomial berderajat kurang dari \(n\text{.}\) Karena \(K\) merupakan lapangan pemisah dari \(p(x)\text{,}\) semua akar \(p(x)\) berada di \(K\text{.}\) Pilih salah satu akar ini, katakanlah \(\alpha\text{,}\) sedemikian sehingga \(E \subset E( \alpha ) \subset K\text{.}\) Demikian pula, kita dapat menemukan akar \(\beta\) dari \(q(x)\) di \(L\) sedemikian sehingga \(F \subset F( \beta) \subset L\text{.}\) Berdasarkan Lema 21.2.4, terdapat isomorfisma \(\overline{\phi} : E(\alpha ) \rightarrow F( \beta)\) sedemikian sehingga \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) dan \(\overline{\phi}\) sama dengan \(\phi\) pada \(E\) (lihat Gambar 21.2.7).
\begin{equation*}
\begin{CD}
K @>\psi>> L \\
@VV{\sigma}V @VV{\tau}V\\
E(\alpha) @>\overline{\phi}>> F(\beta) \\
@VVV @VVV\\
E @>\phi>> F
\end{CD}
\end{equation*}
Sekarang tulis \(p(x) = (x - \alpha ) f(x)\) dan \(q(x) = ( x - \beta) g(x)\text{,}\) dengan derajat \(f(x)\) dan \(g(x)\) masing-masing kurang dari derajat \(p(x)\) dan \(q(x)\text{.}\) Perluasan lapangan \(K\) merupakan lapangan pemisah untuk \(f(x)\) atas \(E( \alpha)\text{,}\) dan \(L\) merupakan lapangan pemisah untuk \(g(x)\) atas \(F( \beta )\text{.}\) Berdasarkan hipotesis induksi, terdapat isomorfisma \(\psi : K \rightarrow L\) sedemikian sehingga \(\psi\) sama dengan \(\overline{\phi}\) pada \(E( \alpha)\text{.}\) Jadi, terdapat isomorfisma \(\psi : K \rightarrow L\) sedemikian sehingga \(\psi\) sama dengan \(\phi\) pada \(E\text{.}\)