Untuk membuktikan teorema ini, kita akan menggunakan metode yang dipakai untuk membangun
Contoh 21.1.2. Jelas bahwa kita dapat mengasumsikan
\(p(x)\) merupakan polinomial tak tereduksi. Kita ingin menemukan perluasan lapangan
\(E\) dari
\(F\) yang memuat elemen
\(\alpha\) sedemikian sehingga
\(p(\alpha) = 0\text{.}\) Ideal
\(\langle p(x) \rangle\) yang dibangkitkan oleh
\(p(x)\) merupakan ideal maksimal di
\(F[x]\) berdasarkan
Teorema 17.3.12; jadi,
\(F[x]/\langle p(x) \rangle\) merupakan lapangan. Kita mengklaim bahwa
\(E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) adalah lapangan yang diinginkan.
Pertama-tama kita menunjukkan bahwa \(E\) merupakan perluasan lapangan dari \(F\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan homomorfisma gelanggang komutatif melalui pemetaan \(\psi:F \rightarrow F[x]/\langle p(x) \rangle\text{,}\) dengan \(\psi(a) = a + \langle p(x)\rangle\) untuk \(a \in F\text{.}\) Mudah diperiksa bahwa \(\psi\) memang merupakan homomorfisma gelanggang. Perhatikan bahwa
\begin{equation*}
\psi( a ) + \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) + (b + \langle p(x) \rangle) = (a + b) + \langle p(x) \rangle = \psi( a + b )
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
\psi( a ) \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) (b + \langle p(x) \rangle) = ab + \langle p(x) \rangle = \psi( ab )\text{.}
\end{equation*}
Untuk membuktikan bahwa \(\psi\) satu-ke-satu, asumsikan bahwa
\begin{equation*}
a + \langle p(x) \rangle = \psi(a) = \psi(b) = b + \langle p(x) \rangle\text{.}
\end{equation*}
Maka \(a - b\) merupakan kelipatan \(p(x)\text{,}\) karena berada dalam ideal \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Karena \(p(x)\) polinomial takkonstan, satu-satunya kemungkinan adalah \(a - b = 0\text{.}\) Akibatnya, \(a = b\) dan \(\psi\) injektif. Karena \(\psi\) satu-ke-satu, kita dapat mengidentifikasi \(F\) dengan sublapangan \(\{ a + \langle p(x) \rangle : a \in F \}\) dari \(E\) dan memandang \(E\) sebagai perluasan lapangan dari \(F\text{.}\)
Tinggal membuktikan bahwa \(p(x)\) memiliki nol \(\alpha \in E\text{.}\) Tetapkan \(\alpha = x + \langle p(x) \rangle\text{.}\) Maka \(\alpha\) berada di \(E\text{.}\) Jika \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{,}\) maka
\begin{align*}
p( \alpha ) & = a_0 + a_1( x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + a_n ( x + \langle p(x) \rangle)^n\\
& = a_0 + ( a_1 x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + (a_n x^n + \langle p(x) \rangle)\\
& = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \langle p(x) \rangle\\
& = 0 + \langle p(x) \rangle\text{.}
\end{align*}
Oleh karena itu, kita telah menemukan elemen \(\alpha \in E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) sedemikian sehingga \(\alpha\) merupakan nol dari \(p(x)\text{.}\)