Lema 21.2.4.

Misalkan \(\phi : E \rightarrow F\) suatu isomorfisma lapangan. Misalkan \(K\) perluasan lapangan dari \(E\) dan \(\alpha \in K\) aljabar atas \(E\) dengan polinomial minimal \(p(x)\text{.}\) Misalkan \(L\) perluasan lapangan dari \(F\) sedemikian sehingga \(\beta\) merupakan akar dari polinomial di \(F[x]\) yang diperoleh dari \(p(x)\) melalui citra \(\phi\text{.}\) Maka \(\phi\) meluas menjadi isomorfisma tunggal \(\overline{\phi} : E( \alpha ) \rightarrow F( \beta )\) sedemikian sehingga \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) dan \(\overline{\phi}\) sama dengan \(\phi\) pada \(E\text{.}\)

Bukti.
Jika \(p(x)\) berderajat \(n\text{,}\) maka berdasarkan Teorema 21.1.13 kita dapat menulis setiap elemen di \(E( \alpha )\) sebagai kombinasi linear dari \(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\text{.}\) Oleh karena itu, isomorfisma yang kita cari harus berupa
\begin{equation*} \overline{\phi}( a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}) = \phi(a_0) + \phi(a_1) \beta + \cdots + \phi(a_{n - 1}) \beta^{n - 1}\text{,} \end{equation*}
dengan
\begin{equation*} a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1} \end{equation*}
merupakan elemen di \(E(\alpha)\text{.}\) Fakta bahwa \(\overline{\phi}\) merupakan isomorfisma dapat diperiksa melalui perhitungan langsung; akan tetapi, lebih mudah untuk mengamati bahwa \(\overline{\phi}\) merupakan komposisi pemetaan-pemetaan yang telah kita ketahui sebagai isomorfisma.
Kita dapat memperluas \(\phi\) menjadi isomorfisma dari \(E[x]\) ke \(F[x]\text{,}\) yang juga akan kita nyatakan dengan \(\phi\text{,}\) dengan menetapkan
\begin{equation*} \phi( a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n ) = \phi( a_0 ) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.} \end{equation*}
Perluasan ini sama dengan isomorfisma asal \(\phi : E \rightarrow F\text{,}\) karena polinomial konstan dipetakan ke polinomial konstan. Berdasarkan asumsi, \(\phi(p(x)) = q(x)\text{;}\) jadi, \(\phi\) memetakan \(\langle p(x) \rangle\) ke \(\langle q(x) \rangle\) secara onto. Akibatnya, kita memiliki isomorfisma \(\psi : E[x] / \langle p(x) \rangle \rightarrow F[x]/\langle q(x) \rangle\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 21.1.12, kita memiliki isomorfisma \(\sigma: E[x]/\langle p(x) \rangle \rightarrow E(\alpha)\) dan \(\tau : F[x]/\langle q(x) \rangle \rightarrow F( \beta )\text{,}\) yang masing-masing didefinisikan melalui evaluasi di \(\alpha\) dan \(\beta\text{.}\) Oleh karena itu, \(\overline{\phi} = \tau \psi \sigma^{-1}\) adalah isomorfisma yang diperlukan (lihat Gambar 21.2.5).
\begin{equation*} \begin{CD} E[x]/\langle p(x) \rangle @>\psi>> F[x]/\langle q(x) \rangle \\ @VV{\sigma}V @VV{\tau}V\\ E(\alpha) @>\overline{\phi}>> F(\beta) \\ @VVV @VVV\\ E @>\phi>> F \end{CD} \end{equation*}
Gambar 21.2.5. Diagram komutatif untuk Lema 21.2.4
Bukti ketunggalan kita serahkan sebagai latihan.
Dalam Konteks