Contoh 21.1.2.
Misalkan \(p(x) = x^2 + x + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Karena \(0\) maupun \(1\) bukan akar polinomial ini, kita mengetahui bahwa \(p(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Kita akan membangun perluasan lapangan dari \({\mathbb Z}_2\) yang memuat elemen \(\alpha\) sedemikian sehingga \(p(\alpha) = 0\text{.}\) Berdasarkan Teorema 17.3.12, ideal \(\langle p(x) \rangle\) yang dibangkitkan oleh \(p(x)\) bersifat maksimal; jadi, \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\) merupakan lapangan. Misalkan \(f(x) + \langle p(x) \rangle\) sembarang elemen dari \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\text{.}\) Berdasarkan algoritma pembagian,
\begin{equation*}
f(x) = (x^2 + x + 1) q(x) + r(x)\text{,}
\end{equation*}
dengan derajat \(r(x)\) kurang dari derajat \(x^2 + x + 1\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*}
f(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle = r(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle\text{.}
\end{equation*}
Jadi, satu-satunya kemungkinan bagi \(r(x)\) adalah \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(x\text{,}\) dan \(1 + x\text{.}\) Akibatnya, \(E = {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) merupakan lapangan dengan empat elemen dan harus menjadi perluasan lapangan dari \({\mathbb Z}_2\text{,}\) yang memuat nol \(\alpha\) dari \(p(x)\text{.}\) Lapangan \({\mathbb Z}_2( \alpha)\) terdiri atas elemen-elemen
\begin{align*}
0 + 0 \alpha & = 0\\
1 + 0 \alpha & = 1\\
0 + 1 \alpha & = \alpha\\
1 + 1 \alpha & = 1 + \alpha\text{.}
\end{align*}
Perhatikan bahwa \({\alpha}^2 + {\alpha} + 1 = 0\text{;}\) jadi, jika kita menghitung \((1 + \alpha)^2\text{,}\)
\begin{equation*}
(1 + \alpha)(1 + \alpha)= 1 + \alpha + \alpha + (\alpha)^2 = \alpha\text{.}
\end{equation*}
Perhitungan lain dilakukan dengan cara serupa. Kita merangkum perhitungan ini dalam tabel-tabel berikut, yang menunjukkan cara menjumlahkan dan mengalikan elemen-elemen di \(E\text{.}\)