Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa \(D\) dapat disematkan ke dalam lapangan \(F_D\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : D \rightarrow F_D\) dengan \(\phi(a) = [a, 1]\text{.}\) Maka untuk \(a\) dan \(b\) dalam \(D\text{,}\)
\begin{equation*}
\phi( a + b ) = [a+b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = \phi(a ) + \phi(b)
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
\phi( a b ) = [a b, 1] = [a, 1] [b, 1] = \phi(a ) \phi(b);
\end{equation*}
jadi, \(\phi\) merupakan homomorfisma. Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) satu-ke-satu, andaikan bahwa \(\phi(a) = \phi( b)\text{.}\) Maka \([a, 1] = [b, 1]\text{,}\) atau \(a = a1 = 1b = b\text{.}\) Terakhir, setiap elemen \(F_D\) dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua elemen dalam \(D\text{,}\) karena
\begin{equation*}
\phi(a) [\phi(b)]^{-1} = [a, 1] [b, 1]^{-1} = [a, 1] \cdot [1, b] = [a, b]\text{.}
\end{equation*}
Sekarang misalkan \(E\) suatu lapangan yang memuat \(D\) dan definisikan pemetaan \(\psi :F_D \rightarrow E\) dengan \(\psi([a, b]) = a b^{-1}\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\psi\) terdefinisi dengan baik, misalkan \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\text{.}\) Maka \(a_1 b_2 = b_1 a_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(a_1 b_1^{-1} = a_2 b_2^{-1}\) dan \(\psi( [a_1, b_1]) = \psi( [a_2, b_2])\text{.}\)
Jika \([a, b ]\) dan \([c, d]\) berada dalam \(F_D\text{,}\) maka
\begin{align*}
\psi( [a, b] + [c, d] ) & = \psi( [ad + b c, b d ] )\\
& = (ad + b c)(b d)^{-1}\\
& = a b^{-1} + c d^{-1}\\
& = \psi( [a, b] ) + \psi( [c, d] )
\end{align*}
dan
\begin{align*}
\psi( [a, b] \cdot [c, d] ) & = \psi( [ac, b d ] )\\
& = (ac)(b d)^{-1}\\
& = a b^{-1} c d^{-1}\\
& = \psi( [a, b] ) \psi( [c, d] )\text{.}
\end{align*}
Oleh karena itu, \(\psi\) merupakan homomorfisma.
Untuk menyelesaikan bukti teorema, kita perlu menunjukkan bahwa \(\psi\) satu-ke-satu. Andaikan bahwa \(\psi( [a, b] ) = ab^{-1} = 0\text{.}\) Maka \(a = 0b = 0\) dan \([a, b] = [0, b]\text{.}\) Oleh karena itu, kernel \(\psi\) adalah elemen nol \([ 0, b]\) dalam \(F_D\text{,}\) dan \(\psi\) bersifat injektif.