(1) Andaikan \(a \mid b\text{.}\) Maka \(b = ax\) untuk suatu \(x \in D\text{.}\) Jadi, untuk setiap \(r\) dalam \(D\text{,}\) \(br =(ax)r = a(xr)\) dan \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Sebaliknya, andaikan \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Maka \(b \in \langle a \rangle\text{.}\) Akibatnya, \(b =a x\) untuk suatu \(x \in D\text{.}\) Dengan demikian, \(a \mid b\text{.}\)

(2) Karena \(a\) dan \(b\) sekawan, terdapat unit \(u\) sedemikian sehingga \(a = u b\text{.}\) Oleh karena itu, \(b \mid a\) dan \(\langle a \rangle \subset \langle b \rangle\text{.}\) Demikian pula, \(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Akibatnya, \(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Sebaliknya, andaikan \(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Menurut bagian (1), \(a \mid b\) dan \(b \mid a\text{.}\) Maka \(a = bx\) dan \(b = ay\) untuk suatu \(x, y \in D\text{.}\) Oleh karena itu, \(a = bx = ayx\text{.}\) Karena \(D\) merupakan daerah integral, \(x y = 1\text{;}\) artinya, \(x\) dan \(y\) merupakan unit serta \(a\) dan \(b\) sekawan.

(3) Elemen \(a \in D\) merupakan unit jika dan hanya jika \(a\) sekawan dengan \(1\text{.}\) Sementara itu, \(a\) sekawan dengan \(1\) jika dan hanya jika \(\langle a \rangle = \langle 1 \rangle = D\text{.}\)