Lema 18.1.3.

Himpunan kelas ekuivalensi dari \(S\text{,}\) yaitu \(F_D\text{,}\) di bawah relasi ekuivalensi \(\sim\text{,}\) bersama dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan oleh
\begin{align*} [a, b] + [c, d] & = [ad + b c, b d]\\ [ a, b] \cdot [c, d] & = [ac, b d]\text{,} \end{align*}
merupakan suatu lapangan.

Bukti.
Identitas aditif dan multiplikatif masing-masing adalah \([0,1]\) dan \([1,1]\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \([0,1]\) merupakan identitas aditif, perhatikan bahwa
\begin{equation*} [a, b] + [0, 1] = [ a 1 + b 0, b 1] = [a,b]\text{.} \end{equation*}
Mudah ditunjukkan bahwa \([1, 1]\) merupakan identitas multiplikatif. Misalkan \([a, b] \in F_D\) dengan \(a \neq 0\text{.}\) Maka \([b, a]\) juga berada dalam \(F_D\) dan \([a,b] \cdot [b, a] = [1,1]\text{;}\) jadi, \([b, a]\) merupakan invers multiplikatif dari \([a, b]\text{.}\) Demikian pula, \([-a,b]\) merupakan invers aditif dari \([a, b]\text{.}\) Verifikasi sifat asosiatif dan komutatif perkalian dalam \(F_D\) kita serahkan sebagai latihan. Kita juga menyerahkan kepada pembaca untuk menunjukkan bahwa \(F_D\) merupakan grup abelian di bawah penjumlahan.
Tinggal menunjukkan bahwa sifat distributif berlaku dalam \(F_D\text{;}\) memang,
\begin{align*} [a, b] [e, f] + [c, d][ e, f ] & = [a e, b f ] + [c e, d f]\\ & = [a e d f + b f c e, b d f^2 ]\\ & = [a e d + b c e, b d f ]\\ & = [a d e + b c e, b d f ]\\ & = ( [a, b] + [c, d] ) [ e, f ] \end{align*}
sehingga lema terbukti.
Dalam Konteks