Kita mengklaim bahwa \(I= \bigcup_{i = 1}^\infty I_i\) merupakan ideal dari \(D\text{.}\) Jelas bahwa \(I\) tidak kosong, karena \(I_1 \subset I\) dan \(0 \in I\text{.}\) Jika \(a, b \in I\text{,}\) maka \(a \in I_i\) dan \(b \in I_j\) untuk suatu \(i\) dan \(j\) dalam \({\mathbb N}\text{.}\) Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengandaikan bahwa \(i \leq j\text{.}\) Jadi, \(a\) dan \(b\) keduanya berada dalam \(I_j\text{,}\) sehingga \(a - b\) juga berada dalam \(I_j\text{.}\) Sekarang misalkan \(r \in D\) dan \(a \in I\text{.}\) Sekali lagi, perhatikan bahwa \(a \in I_i\) untuk suatu bilangan bulat positif \(i\text{.}\) Karena \(I_i\) merupakan ideal, \(ra \in I_i\) dan karenanya harus berada dalam \(I\text{.}\) Oleh karena itu, kita telah menunjukkan bahwa \(I\) merupakan ideal dalam \(D\text{.}\)

Karena \(D\) merupakan domain ideal utama, terdapat elemen \(\overline{a} \in D\) yang membangkitkan \(I\text{.}\) Karena \(\overline{a}\) berada dalam \(I_N\) untuk suatu \(N \in {\mathbb N}\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(I_N = I = \langle \overline{a} \rangle\text{.}\) Akibatnya, \(I_n = I_N\) untuk \(n \geq N\text{.}\)