Perangkat utama yang digunakan dalam bukti ini adalah algoritma pembagian dan Prinsip Urutan Baik. Misalkan \(G\) grup siklik yang dibangkitkan oleh \(a\text{,}\) dan misalkan \(H\) subgrup dari \(G\text{.}\) Jika \(H = \{ e \}\text{,}\) maka jelas \(H\) bersifat siklik. Misalkan \(H\) memuat suatu elemen lain \(g\) yang berbeda dari identitas. Maka \(g\) dapat ditulis sebagai \(a^n\) untuk suatu bilangan bulat \(n\text{.}\) Karena \(H\) merupakan subgrup, \(g^{-1} = a^{-n}\) juga harus berada dalam \(H\text{.}\) Karena salah satu dari \(n\) atau \(-n\) positif, kita dapat mengandaikan bahwa \(H\) memuat pangkat positif dari \(a\) dan \(n \gt 0\text{.}\) Misalkan \(m\) bilangan asli terkecil sedemikian sehingga \(a^m \in H\text{.}\) Bilangan \(m\) seperti itu ada berdasarkan Prinsip Urutan Baik.
Kita menyatakan bahwa \(h = a^m\) merupakan pembangkit bagi \(H\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa setiap \(h' \in H\) dapat ditulis sebagai pangkat dari \(h\text{.}\) Karena \(h' \in H\) dan \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{,}\) berlaku \(h' = a^k\) untuk suatu bilangan bulat \(k\text{.}\) Dengan menggunakan algoritma pembagian, kita dapat mencari bilangan \(q\) dan \(r\) sedemikian sehingga \(k = mq +r\) dengan \(0 \leq r \lt m\text{;}\) jadi,
\begin{equation*}
a^k = a^{mq +r} = (a^m)^q a^r = h^q a^r\text{.}
\end{equation*}
Jadi \(a^r = a^k h^{-q}\text{.}\) Karena \(a^k\) dan \(h^{-q}\) berada dalam \(H\text{,}\) \(a^r\) juga harus berada dalam \(H\text{.}\) Akan tetapi, \(m\) merupakan bilangan positif terkecil sedemikian sehingga \(a^m\) berada dalam \(H\text{;}\) akibatnya, \(r=0\) sehingga \(k=mq\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*}
h' = a^k = a^{mq} = h^q
\end{equation*}
dan \(H\) dibangkitkan oleh \(h\text{.}\)