Kita akan menunjukkan bahwa
\(B\) isomorfik dengan
\({\mathcal P}(X)\text{,}\) dengan
\(X\) sebagai himpunan atom-atom dari
\(B\text{.}\) Misalkan
\(a \in B\text{.}\) Berdasarkan
Lema 19.2.8, kita dapat menuliskan
\(a\) secara tunggal sebagai
\(a = a_1 \vee \cdots \vee a_n\) untuk
\(a_1, \ldots,
a_n \in X\text{.}\) Akibatnya, kita dapat mendefinisikan pemetaan
\(\phi : B \rightarrow {\mathcal P}(X)\) melalui
\begin{equation*}
\phi(a) = \phi( a_1 \vee \cdots \vee a_n ) = \{a_1, \ldots, a_n \}\text{.}
\end{equation*}
Jelas bahwa \(\phi\) surjektif.
Sekarang misalkan \(a = a_1 \vee \cdots \vee a_n\) dan \(b = b_1 \vee \cdots \vee b_m\) merupakan unsur-unsur dalam \(B\text{,}\) dengan setiap \(a_i\) dan setiap \(b_i\) merupakan atom. Jika \(\phi(a) = \phi(b)\text{,}\) maka \(\{a_1, \ldots, a_n \} = \{b_1, \ldots,
b_m \}\) dan \(a = b\text{.}\) Akibatnya, \(\phi\) injektif.
Gabung dari \(a\) dan \(b\) dipertahankan oleh \(\phi\) karena
\begin{align*}
\phi(a \vee b) & = \phi( a_1 \vee \cdots \vee a_n \vee b_1 \vee \cdots \vee b_m )\\
& = \{ a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_m \}\\
& = \{ a_1, \ldots, a_n \} \cup \{ b_1, \ldots, b_m \}\\
& = \phi( a_1 \vee \cdots \vee a_n ) \cup \phi( b_1 \wedge \cdots \vee b_m )\\
& = \phi(a) \cup \phi(b)\text{.}
\end{align*}
Serupa dengan itu, \(\phi( a \wedge b ) = \phi(a) \cap \phi(b)\text{.}\)