Contoh 8.3.1.
Andaikan kita mempunyai delapan kata berikut untuk dikodekan:
\begin{equation*}
(\codeword{000}), (\codeword{001}), (\codeword{010}), \ldots, (\codeword{111})\text{.}
\end{equation*}
Untuk
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
matriks pembangkit standar dan matriks pemeriksa paritas kanonik yang terkait adalah
\begin{equation*}
G=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
H =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
secara berurutan.
Perhatikan bahwa baris-baris dalam \(H\) merepresentasikan pemeriksaan paritas pada posisi bit tertentu dalam tupel-\(6\text{.}\) Bit-bit \(1\) dalam matriks identitas berfungsi sebagai pemeriksa paritas untuk bit-bit \(1\) pada baris yang sama. Jika \({\mathbf x} = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)\text{,}\) maka
\begin{equation*}
{\mathbf 0}
=
H{\mathbf x}
=
\begin{pmatrix}
x_2 + x_3 + x_4 \\
x_1 + x_2 + x_5\\
x_1 + x_3 + x_6
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
yang menghasilkan sistem persamaan:
\begin{align*}
x_2 + x_3 + x_4 & = 0\\
x_1 + x_2 + x_5 & = 0\\
x_1 + x_3 + x_6 & = 0\text{.}
\end{align*}
Di sini \(x_4\) berfungsi sebagai bit pemeriksa untuk \(x_2\) dan \(x_3\text{;}\) \(x_5\) adalah bit pemeriksa untuk \(x_1\) dan \(x_2\text{;}\) dan \(x_6\) adalah bit pemeriksa untuk \(x_1\) dan \(x_3\text{.}\) Matriks identitas mencegah \(x_4\text{,}\) \(x_5\text{,}\) dan \(x_6\) harus saling memeriksa. Dengan demikian, \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) dan \(x_3\) dapat dipilih sebarang, tetapi \(x_4\text{,}\) \(x_5\text{,}\) dan \(x_6\) harus dipilih untuk menjamin paritas. Ruang nol \(H\) mudah dihitung sebagai
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
(\codeword{000000}) & (\codeword{001101}) & (\codeword{010110}) & (\codeword{011011}) \\
(\codeword{100011}) & (\codeword{101110}) & (\codeword{110101}) & (\codeword{111000}).
\end{array}
\end{equation*}
Cara yang lebih mudah lagi untuk menghitung ruang nol adalah menggunakan matriks pembangkit \(G\) (Tabel 8.3.2).