Kita mengetahui bahwa
\(|G|/|G_x|\) adalah banyaknya koset kiri
\(G_x\) dalam
\(G\) berdasarkan Teorema Lagrange (
Teorema 6.2.2). Kita akan mendefinisikan pemetaan bijektif
\(\phi\) antara orbit
\({\mathcal O}_x\) dari
\(X\) dan himpunan koset kiri
\({\mathcal L}_{G_x}\) dari
\(G_x\) dalam
\(G\text{.}\) Misalkan
\(y \in {\mathcal O}_x\text{.}\) Maka terdapat
\(g\) dalam
\(G\) sedemikian sehingga
\(g x = y\text{.}\) Definisikan
\(\phi\) dengan
\(\phi( y ) = g G_x\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa
\(\phi\) satu-satu, asumsikan bahwa
\(\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
\phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2)\text{,}
\end{equation*}
dengan \(g_1 x = y_1\) dan \(g_2 x = y_2\text{.}\) Karena \(g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}\) terdapat \(g \in G_x\) sedemikian sehingga \(g_2 = g_1 g\text{,}\)
\begin{equation*}
y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1;
\end{equation*}
akibatnya, pemetaan \(\phi\) satu-satu. Terakhir, kita harus menunjukkan bahwa pemetaan \(\phi\) surjektif. Misalkan \(g G_x\) adalah suatu koset kiri. Jika \(g x = y\text{,}\) maka \(\phi(y) = g G_x\text{.}\)