Misalkan \(\sigma \in G\) dan \(f \in \widetilde{X}\text{.}\) Karena \(\sigma\) mempermutasikan unsur-unsur \(X\text{,}\) \(f \circ \sigma\) juga harus berada dalam \(\widetilde{X}\text{.}\) Misalkan \(g\) adalah fungsi lain dari \(X\) ke \(Y\) sedemikian sehingga \(\widetilde{\sigma}(f) = \widetilde{\sigma}(g)\text{.}\) Maka untuk setiap \(x \in X\text{,}\)
\begin{equation*}
f( \sigma(x )) = \widetilde{\sigma}(f)(x) = \widetilde{\sigma}(g)(x) = g( \sigma(x ))\text{.}
\end{equation*}
Karena \(\sigma\) merupakan permutasi dari \(X\text{,}\) setiap unsur \(x'\) dalam \(X\) adalah citra suatu \(x\) dalam \(X\) di bawah \(\sigma\text{;}\) jadi, \(f\) dan \(g\) sama pada semua unsur \(X\text{.}\) Oleh karena itu, \(f=g\) dan \(\widetilde{\sigma}\) injektif. Pemetaan \(\sigma \mapsto \widetilde{\sigma}\) surjektif, karena kedua himpunan memiliki ukuran yang sama.
Misalkan \(\sigma\) adalah permutasi dari \(X\) dengan dekomposisi siklus \(\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_n\text{.}\) Setiap \(f\) dalam \({\widetilde{X}}_{\sigma}\) harus memiliki nilai yang sama pada setiap siklus \(\sigma\text{.}\) Karena terdapat \(n\) siklus dan \(|Y|\) nilai yang mungkin untuk setiap siklus, \(|{\widetilde{X}}_{\sigma}| = |Y|^n\text{.}\)