Latihan 33.
Misalkan \(p\) adalah bilangan prima. Buktikan bahwa
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ dan } \gcd( b,p) = 1 \}
\end{equation*}
merupakan gelanggang. Gelanggang \({\mathbb Z}_{(p)}\) disebut gelanggang bilangan bulat yang dilokalkan di \(p\text{.}\)
Petunjuk.
Misalkan \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Maka \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) dan \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) keduanya berada dalam \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) karena \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)