Teorema 17.1.5.

Misalkan \(R\) gelanggang komutatif dengan identitas dan \(\alpha \in R\text{.}\) Maka kita memiliki homomorfisma gelanggang \(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*} \phi_{\alpha} (p(x) ) = p( \alpha ) = a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0\text{,} \end{equation*}
dengan \(p( x ) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) dan \(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) Mudah ditunjukkan bahwa \(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa perkalian dipertahankan oleh pemetaan \(\phi_{\alpha}\text{,}\) perhatikan bahwa
\begin{align*} \phi_{\alpha} (p(x) ) \phi_{\alpha} (q(x)) & = p( \alpha ) q(\alpha)\\ & = \left( \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i \right) \left( \sum_{i = 0}^m b_i \alpha^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n} \left( \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} \right) \alpha^i\\ & = \phi_{\alpha} (p(x) q(x))\text{.} \end{align*}
Dalam Konteks