Latihan 14.
Misalkan \(G\) suatu grup dan misalkan \(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}\) yaitu, \(G'\) merupakan subgrup yang terdiri atas semua hasil kali hingga elemen-elemen dalam \(G\) yang berbentuk \(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) Subgrup \(G'\) disebut subgrup komutator dari \(G\text{.}\)
-
Tunjukkan bahwa \(G'\) merupakan subgrup normal dari \(G\text{.}\)
-
Misalkan \(N\) suatu subgrup normal dari \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(G/N\) abelian jika dan hanya jika \(N\) memuat subgrup komutator dari \(G\text{.}\)
Petunjuk.
(a) Misalkan \(g \in G\) dan \(h \in G'\text{.}\) Jika \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) maka
\begin{align*}
ghg^{-1} & = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}\\
& = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})\\
& = (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}\text{.}
\end{align*}
Kita juga perlu menunjukkan bahwa jika \(h = h_1 \cdots h_n\) dengan \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) maka \(ghg^{-1}\) merupakan hasil kali elemen-elemen berjenis sama. Namun, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)