Latihan 22.

Misalkan \(F\) suatu lapangan berkarakteristik nol dan misalkan \(f(x) \in F[x]\) suatu polinomial separabel berderajat \(n\text{.}\) Jika \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\text{,}\) misalkan \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) akar-akar dari \(f(x)\) dalam \(E\text{.}\) Misalkan \(\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}\) Kita mendefinisikan diskriminan dari \(f(x)\) sebagai \(\Delta^2\text{.}\)
  1. Jika \(f(x) = x^2 + b x + c\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}\)
  2. Jika \(f(x) = x^3 + p x + q\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\Delta^2 = - 4p^3 - 27q^2\text{.}\)
  3. Buktikan bahwa \(\Delta^2\) berada dalam \(F\text{.}\)
  4. Jika \(\sigma \in G(E/F)\) merupakan transposisi dua akar dari \(f(x)\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\sigma( \Delta ) = -\Delta\text{.}\)
  5. Jika \(\sigma \in G(E/F)\) merupakan permutasi genap dari akar-akar \(f(x)\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\sigma( \Delta ) = \Delta\text{.}\)
  6. Buktikan bahwa \(G(E/F)\) isomorfik dengan suatu subgrup dari \(A_n\) jika dan hanya jika \(\Delta \in F\text{.}\)
  7. Tentukan grup Galois dari \(x^3 + 2 x - 4\) dan \(x^3 + x -3\text{.}\)
Dalam Konteks