Teorema 4.1.3.

Misalkan \(G\) suatu grup dan \(a\) sebarang elemen dalam \(G\text{.}\) Maka himpunan
\begin{equation*} \langle a \rangle = \{ a^k : k \in {\mathbb Z} \} \end{equation*}
merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Lebih lanjut, \(\langle a \rangle\) merupakan subgrup terkecil dari \(G\) yang memuat \(a\text{.}\)

Bukti.
Elemen identitas berada dalam \(\langle a \rangle \) karena \(a^0 = e\text{.}\) Jika \(g\) dan \(h\) merupakan sebarang dua elemen dalam \(\langle a \rangle \text{,}\) maka berdasarkan definisi \(\langle a \rangle\text{,}\) kita dapat menuliskan \(g = a^m\) dan \(h = a^n\) untuk suatu bilangan bulat \(m\) dan \(n\text{.}\) Jadi, \(gh = a^m a^n = a^{m+n}\) kembali berada dalam \(\langle a \rangle \text{.}\) Terakhir, jika \(g = a^n\) berada dalam \(\langle a \rangle \text{,}\) maka invers \(g^{-1} = a^{-n}\) juga berada dalam \(\langle a \rangle \text{.}\) Jelas bahwa sebarang subgrup \(H\) dari \(G\) yang memuat \(a\) harus memuat semua pangkat \(a\) berdasarkan ketertutupan; jadi, \(H\) memuat \(\langle a \rangle \text{.}\) Oleh karena itu, \(\langle a \rangle \) merupakan subgrup terkecil dari \(G\) yang memuat \(a\text{.}\)
Dalam Konteks