Misalkan
\({\mathcal L}_H\) dan
\({\mathcal R}_H\) masing-masing menyatakan himpunan koset kiri dan kanan dari
\(H\) dalam
\(G\text{.}\) Jika kita dapat mendefinisikan pemetaan bijektif
\(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}\) maka teorema tersebut terbukti. Jika
\(gH \in {\mathcal L}_H\text{,}\) definisikan
\(\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}\) Berdasarkan
Lema 6.1.3, pemetaan
\(\phi\) terdefinisi dengan baik; artinya, jika
\(g_1 H = g_2 H\text{,}\) maka
\(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa
\(\phi\) satu-ke-satu, misalkan
\begin{equation*}
H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Sekali lagi berdasarkan
Lema 6.1.3, berlaku
\(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Pemetaan
\(\phi\) surjektif karena
\(\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}\)