Kita menggunakan induksi pada orde \(G\text{.}\) Jika \(|G|=p\text{,}\) jelas bahwa \(G\) sendiri merupakan subgrup yang diperlukan. Sekarang andaikan setiap grup berorde \(k\text{,}\) dengan \(p \leq k \lt n\) dan \(p\) membagi \(k\text{,}\) memiliki elemen berorde \(p\text{.}\) Andaikan \(|G|= n\) dan \(p \mid n\text{,}\) lalu tinjau persamaan kelas \(G\text{:}\)
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.}
\end{equation*}
Ada dua kasus.
Kasus 1.
Andaikan orde salah satu subgrup pemusat, \(C(x_i)\text{,}\) habis dibagi \(p\) untuk suatu \(i\text{,}\) \(i = 1, \ldots, k\text{.}\) Dalam kasus ini, hipotesis induksi menyelesaikan pembuktian. Karena \(C(x_i)\) merupakan subgrup sejati dari \(G\) dan \(p\) membagi \(|C(x_i)|\text{,}\) \(C(x_i)\) harus memuat elemen berorde \(p\text{.}\) Jadi, \(G\) harus memuat elemen berorde \(p\text{.}\)
Kasus 2.
Andaikan orde tidak satu pun subgrup pemusat habis dibagi \(p\text{.}\) Maka \(p\) membagi \([G:C(x_i)]\text{,}\) yaitu orde setiap kelas konjugasi dalam persamaan kelas; karena itu, \(p\) harus membagi orde pusat \(G\text{,}\) yaitu \(Z(G)\text{.}\) Karena \(Z(G)\) abelian, Teorema Dasar Grup Abelian Hingga menyatakan bahwa pusat tersebut harus memiliki subgrup berorde \(p\text{.}\) Oleh karena itu, pusat \(G\) memuat elemen berorde \(p\text{.}\)