Kita akan menggunakan induksi matematika pada panjang deret komposisi. Jika panjang suatu deret komposisi adalah \(1\text{,}\) maka \(G\) harus merupakan grup sederhana. Dalam kasus ini, sebarang dua deret komposisi isomorfik.
Sekarang andaikan bahwa teorema tersebut benar untuk semua grup yang memiliki deret komposisi dengan panjang \(k\text{,}\) dengan \(1 \leq k \lt n\text{.}\) Misalkan
\begin{gather*}
G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\\
G = K_m \supset K_{m-1} \supset \cdots \supset K_1 \supset K_0 = \{ e \}
\end{gather*}
merupakan dua deret komposisi untuk \(G\text{.}\) Kita dapat membentuk dua deret subnormal baru untuk \(G\) karena \(H_i \cap K_{m-1}\) normal dalam \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\) dan \(K_j \cap H_{n-1}\) normal dalam \(K_{j+1} \cap H_{n-1}\text{:}\)
\begin{gather*}
G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\\
G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \}\text{.}
\end{gather*}
Karena
\(H_i \cap K_{m-1}\) normal dalam
\(H_{i+1} \cap K_{m-1}\text{,}\) Teorema Isomorfisma Kedua (
Teorema 11.2.3) mengakibatkan bahwa
\begin{align*}
(H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap K_{m-1}) & = (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap ( H_{i+1} \cap K_{m-1} ))\\
& \cong H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\text{,}
\end{align*}
dengan \(H_i\) normal dalam \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\text{.}\) Karena \(\{ H_i \}\) merupakan deret komposisi, \(H_{i+1} / H_i\) harus sederhana; akibatnya, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\) adalah \(H_{i+1}/H_i\) atau \(H_i/H_i\text{.}\) Artinya, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\) harus merupakan \(H_i\) atau \(H_{i+1}\text{.}\) Dengan menghapus setiap inklusi yang tidak sejati dari deret
\begin{equation*}
H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\text{,}
\end{equation*}
kita memperoleh deret komposisi untuk \(H_{n-1}\text{.}\) Hipotesis induksi menyatakan bahwa deret ini harus ekuivalen dengan deret komposisi
\begin{equation*}
H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{.}
\end{equation*}
Dengan demikian, deret komposisi
\begin{equation*}
G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}
\end{equation*}
ekuivalen. Jika \(H_{n-1} = K_{m-1}\text{,}\) maka deret komposisi \(\{H_i \}\) dan \(\{ K_j \}\) ekuivalen dan pembuktian selesai; jika tidak, \(H_{n-1} K_{m-1}\) merupakan subgrup normal dari \(G\) yang memuat \(H_{n-1}\) secara sejati. Dalam hal ini, \(H_{n-1} K_{m-1} = G\) dan kita dapat menerapkan Teorema Isomorfisma Kedua sekali lagi; yaitu,
\begin{equation*}
K_{m-1} / (K_{m-1} \cap H_{n-1}) \cong (H_{n-1} K_{m-1}) / H_{n-1} = G/H_{n-1}\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu,
\begin{equation*}
G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \}
\end{equation*}
ekuivalen, dan pembuktian teorema selesai.