Contoh 1.2.24.
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah matriks \(2 \times 2\) dengan entri bilangan real. Kita dapat mendefinisikan relasi ekuivalensi pada himpunan matriks \(2 \times 2\text{,}\) dengan menyatakan \(A \sim B\) jika terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik sedemikian sehingga \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Sebagai contoh, jika
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\quad \text{dan} \quad
B =
\begin{pmatrix}
-18 & 33 \\
-11 & 20
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
maka \(A \sim B\) karena \(PAP^{-1} = B\) untuk
\begin{equation*}
P =
\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Misalkan \(I\) adalah matriks identitas \(2 \times 2\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*}
I =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Maka \(IAI^{-1} = IAI = A\text{;}\) oleh karena itu, relasi tersebut refleksif. Untuk menunjukkan simetri, andaikan \(A \sim B\text{.}\) Maka terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik sedemikian sehingga \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Jadi
\begin{equation*}
A = P^{-1} B P = P^{-1} B (P^{-1})^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Terakhir, andaikan \(A \sim B\) dan \(B \sim C\text{.}\) Maka terdapat matriks \(P\) dan \(Q\) yang dapat dibalik sedemikian sehingga \(PAP^{-1} = B\) dan \(QBQ^{-1} = C\text{.}\) Karena
\begin{equation*}
C = QBQ^{-1} = QPAP^{-1} Q^{-1} = (QP)A(QP)^{-1}\text{,}
\end{equation*}
relasi tersebut transitif. Dua matriks yang ekuivalen dengan cara ini disebut serupa.