Teorema 16.5.3. Teorema Sisa Cina.

Misalkan \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga \(\gcd(n_i, n_j) = 1\) untuk \(i \neq j\text{.}\) Maka, untuk sembarang bilangan bulat \(a_1, \ldots, a_k\text{,}\) sistem
\begin{align*} x & \equiv a_1 \pmod{n_1}\\ x & \equiv a_2 \pmod{n_2}\\ & \aatavdots{\equiv}\\ x & \equiv a_k \pmod{n_k} \end{align*}
mempunyai solusi. Selain itu, sembarang dua solusi sistem tersebut kongruen modulo \(n_1 n_2 \cdots n_k\text{.}\)

Bukti.
Kita akan menggunakan induksi matematika pada banyaknya persamaan dalam sistem. Jika terdapat \(k= 2\) persamaan, teorema ini benar berdasarkan Lema 16.5.1. Sekarang andaikan hasil tersebut benar untuk suatu sistem yang terdiri atas \(k\) persamaan atau kurang dan kita hendak mencari solusi dari
\begin{align*} x & \equiv a_1 \pmod{n_1}\\ x & \equiv a_2 \pmod{n_2}\\ & \aatavdots{\equiv}\\ x & \equiv a_{k+1} \pmod{n_{k+1}}\text{.} \end{align*}
Dengan meninjau \(k\) persamaan pertama, terdapat solusi yang tunggal modulo \(n_1 \cdots n_k\text{,}\) katakanlah \(a\text{.}\) Karena \(n_1 \cdots n_k\) dan \(n_{k+1}\) relatif prima, sistem
\begin{align*} x & \equiv a \pmod{n_1 \cdots n_k }\\ x & \equiv a_{k+1} \pmod{n_{k+1}} \end{align*}
mempunyai solusi yang tunggal modulo \(n_1 \ldots n_{k+1}\) berdasarkan lemma tersebut.
Dalam Konteks