Teorema 16.3.12. Teorema Isomorfisma Pertama.

Misalkan \(\psi : R \rightarrow S\) adalah homomorfisma gelanggang. Maka \(\ker \psi\) adalah ideal dari \(R\text{.}\) Jika \(\phi : R \rightarrow R/\ker \psi\) adalah homomorfisma kanonik, maka terdapat isomorfisma tunggal \(\eta: R/\ker \psi \rightarrow \psi(R)\) sedemikian sehingga \(\psi = \eta \phi\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(K = \ker \psi\text{.}\) Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama untuk grup, terdapat homomorfisma grup terdefinisi dengan baik \(\eta: R/K \rightarrow \psi(R)\) yang didefinisikan oleh \(\eta(r + K) = \psi(r)\) untuk grup abelian aditif \(R\) dan \(R/K\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini merupakan homomorfisma gelanggang, kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(\eta( (r + K)(s + K) ) = \eta(r + K) \eta( s + K)\text{;}\) tetapi
\begin{align*} \eta( (r + K)( s +K )) & = \eta(r s +K )\\ & = \psi(r s)\\ & = \psi(r) \psi(s)\\ & = \eta( r + K ) \eta( s + K )\text{.} \end{align*}
Dalam Konteks