Jika terdapat elemen \(1 \in R\) sedemikian sehingga \(1 \neq 0\) dan \(1a = a1 = a\) untuk setiap elemen \(a \in R\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(R\) merupakan gelanggang dengan satuan atau identitas. Suatu gelanggang \(R\) yang memenuhi \(ab = ba\) untuk semua \(a, b\) dalam \(R\) disebut gelanggang komutatif. Suatu gelanggang komutatif \(R\) dengan identitas disebut daerah integral jika, untuk setiap \(a, b \in R\) sedemikian sehingga \(ab = 0\text{,}\) berlaku \(a = 0\) atau \(b = 0\text{.}\) Gelanggang pembagian adalah gelanggang \(R\) dengan identitas, yang setiap elemen taknol dalam \(R\) merupakan suatu unsur satuan; yaitu, untuk setiap \(a \in R\) dengan \(a \neq 0\text{,}\) terdapat elemen tunggal \(a^{-1}\) sedemikian sehingga \(a^{-1} a = a a^{-1} = 1\text{.}\) Gelanggang pembagian komutatif disebut lapangan. Hubungan antara gelanggang, daerah integral, gelanggang pembagian, dan lapangan ditunjukkan dalam Gambar 16.1.1.