Suatu himpunan takkosong \(R\) disebut gelanggang jika memiliki dua operasi biner tertutup, yaitu penjumlahan dan perkalian, yang memenuhi syarat-syarat berikut.
-
\(a + b = b + a\) untuk \(a, b \in R\text{.}\)
-
\((a + b) + c = a + ( b + c)\) untuk \(a, b, c \in R\text{.}\)
-
Terdapat elemen \(0\) dalam \(R\) sedemikian sehingga \(a + 0 = a\) untuk semua \(a \in R\text{.}\)
-
Untuk setiap elemen \(a \in R\text{,}\) terdapat elemen \(-a\) dalam \(R\) sedemikian sehingga \(a + (-a) = 0\text{.}\)
-
\((ab) c = a ( b c)\) untuk \(a, b, c \in R\text{.}\)
-
Untuk \(a, b, c \in R\text{,}\)
\begin{align*}
a( b + c)&= ab +ac\\
(a + b)c & = ac + bc\text{.}
\end{align*}
Syarat terakhir ini, yakni aksioma distributif, menghubungkan operasi biner penjumlahan dan perkalian. Perhatikan bahwa empat aksioma pertama hanya mensyaratkan suatu gelanggang menjadi grup abelian terhadap penjumlahan, sehingga kita juga dapat mendefinisikan gelanggang sebagai grup abelian \((R, +)\) beserta operasi biner kedua yang memenuhi syarat kelima dan keenam di atas.