Jika \(i^2 = -1\text{,}\) maka himpunan \({\mathbb Z}[ i ] = \{ m + ni : m, n \in {\mathbb Z} \}\) membentuk gelanggang yang dikenal sebagai bilangan bulat Gauss. Mudah dilihat bahwa bilangan bulat Gauss merupakan subgelanggang dari bilangan kompleks karena tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. Misalkan \(\alpha = a + bi\) suatu unsur satuan dalam \({\mathbb Z}[ i ]\text{.}\) Maka \(\overline{\alpha} = a - bi\) juga merupakan unsur satuan karena jika \(\alpha \beta = 1\text{,}\) maka \(\overline{\alpha} \overline{\beta} = 1\text{.}\) Jika \(\beta = c + di\text{,}\) maka

Oleh karena itu, \(a^2 + b^2\) harus bernilai \(1\) atau \(-1\text{;}\) atau, secara ekuivalen, \(a + bi = \pm 1\) atau \(a + bi = \pm i\text{.}\) Jadi, unsur-unsur satuan gelanggang ini adalah \(\pm 1\) dan \(\pm i\text{;}\) dengan demikian, bilangan bulat Gauss bukan lapangan. Pembuktian bahwa bilangan bulat Gauss merupakan daerah integral diserahkan sebagai latihan.