Teorema 17.3.7. Kriteria Eisenstein.

Misalkan \(p\) bilangan prima dan
\begin{equation*} f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in {\mathbb Z}[x]\text{.} \end{equation*}
Jika \(p \mid a_i\) untuk \(i = 0, 1, \ldots, n-1\text{,}\) tetapi \(p \notdivide a_n\) dan \(p^2 \notdivide a_0\text{,}\) maka \(f(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\text{.}\)

Bukti.
Berdasarkan Lema Gauss (lihat Teorema 17.3.7 dan Lema 18.2.19), kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(f(x)\) tidak terfaktor menjadi polinomial-polinomial berderajat lebih rendah di \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*} f(x) = (b_rx^r + \cdots + b_0)(c_s x^s + \cdots + c_0 ) \end{equation*}
merupakan suatu faktorisasi di \({\mathbb Z}[x]\text{,}\) dengan \(b_r\) dan \(c_s\) taknol serta \(r, s \lt n\text{.}\) Karena \(p^2\) tidak membagi \(a_0 = b_0 c_0\text{,}\) salah satu dari \(b_0\) atau \(c_0\) tidak habis dibagi \(p\text{.}\) Misalkan \(p \notdivide b_0\) dan \(p \mid c_0\text{.}\) Karena \(p \notdivide a_n\) dan \(a_n = b_r c_s\text{,}\) baik \(b_r\) maupun \(c_s\) tidak habis dibagi \(p\text{.}\) Misalkan \(m\) nilai terkecil dari \(k\) yang memenuhi \(p \notdivide c_k\text{.}\) Maka
\begin{equation*} a_m = b_0 c_m + b_1 c_{m - 1} + \cdots + b_m c_0 \end{equation*}
tidak habis dibagi \(p\text{,}\) karena setiap suku di ruas kanan persamaan habis dibagi \(p\text{,}\) kecuali \(b_0 c_m\text{.}\) Oleh karena itu, \(m = n\) karena \(a_i\) habis dibagi \(p\) untuk \(m \lt n\text{.}\) Jadi, \(f(x)\) tidak dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial berderajat lebih rendah dan karenanya harus tak tereduksi.
Dalam Konteks