Grup yang tidak memiliki subgrup normal taktrivial sangat menarik untuk dikaji. Grup semacam itu disebut grup sederhana. Tentu saja, kita sudah mempunyai satu kelas lengkap contoh grup sederhana, yaitu \({\mathbb Z}_p\text{,}\) dengan \(p\) prima. Grup-grup ini secara langsung bersifat sederhana karena tidak memiliki subgrup sejati selain subgrup yang hanya terdiri atas identitas. Contoh lain grup sederhana tidak mudah ditemukan. Akan tetapi, kita dapat menunjukkan bahwa grup alternasi \(A_n\) bersifat sederhana untuk \(n \geq 5\text{.}\) Pembuktian hasil ini memerlukan beberapa lema.