Perhatikan bahwa suatu kisi dapat memiliki beberapa basis. Sebagai contoh, vektor
\((1,1)^\transpose\) dan
\((2,0)^\transpose\) mempunyai kisi yang sama dengan vektor
\((-1, 1)^\transpose\) dan
\((-1, -1)^\transpose\) (
Gambar 12.2.7). Akan tetapi, setiap kisi ditentukan sepenuhnya oleh suatu basis. Diberikan dua basis bagi kisi yang sama, misalnya
\(\{ {\mathbf x}_1, {\mathbf x}_2 \}\) dan
\(\{ {\mathbf y}_1, {\mathbf y}_2 \}\text{,}\) kita dapat menuliskan
\begin{align*}
{\mathbf y}_1 & = \alpha_1 {\mathbf x}_1 + \alpha_2 {\mathbf x}_2\\
{\mathbf y}_2 & = \beta_1 {\mathbf x}_1 + \beta_2 {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
dengan \(\alpha_1\text{,}\) \(\alpha_2\text{,}\) \(\beta_1\text{,}\) dan \(\beta_2\) bilangan bulat. Matriks yang bersesuaian dengan transformasi ini adalah
\begin{equation*}
U
=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_2 \\
\beta_1 & \beta_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Jika kita ingin menyatakan \({\mathbf x}_1\) dan \({\mathbf x}_2\) dalam \({\mathbf y}_1\) dan \({\mathbf y}_2\text{,}\) kita hanya perlu menghitung \(U^{-1}\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*}
U^{-1}
\begin{pmatrix}
{\mathbf y}_1 \\ {\mathbf y}_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\mathbf x}_1 \\ {\mathbf x}_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Karena \(U\) mempunyai entri bilangan bulat, \(U^{-1}\) juga harus mempunyai entri bilangan bulat; jadi, determinan \(U\) maupun \(U^{-1}\) harus berupa bilangan bulat. Karena \(U U^{-1} = I\text{,}\)
\begin{equation*}
\det(U U^{-1}) =\det(U) \det( U^{-1}) = 1;
\end{equation*}
akibatnya, \(\det(U) = \pm 1\text{.}\) Matriks dengan determinan \(\pm 1\) dan entri bilangan bulat disebut unimodular. Sebagai contoh, matriks
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
bersifat unimodular. Jelas bahwa terdapat panjang minimum bagi vektor dalam suatu kisi.