Karena \(\det(A A^\transpose) = \det(I) = 1\) dan \(\det(A) = \det( A^\transpose )\text{,}\) determinan setiap matriks ortogonal bernilai \(1\) atau \(-1\text{.}\) Perhatikan vektor-vektor kolom
\begin{equation*}
{\mathbf a}_j =
\begin{pmatrix}
a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
dari matriks ortogonal \(A= (a_{ij})\text{.}\) Karena \(AA^\transpose = I\text{,}\) \(\langle {\mathbf a}_r, {\mathbf a}_s \rangle = \delta_{rs}\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
\delta_{rs}
=
\begin{cases}
1 & r = s \\
0 & r \neq s
\end{cases}
\end{equation*}
merupakan delta Kronecker. Dengan demikian, semua vektor kolom suatu matriks ortogonal mempunyai panjang \(1\text{;}\) dan hasil kali dalam Euklides dari vektor-vektor kolom yang berbeda bernilai nol. Setiap himpunan vektor yang memenuhi sifat-sifat ini disebut himpunan ortonormal. Sebaliknya, jika diberikan matriks \(n \times n\) \(A\) yang kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal, maka \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\)