Terdapat cara yang lebih geometris untuk memandang grup \(O(n)\text{.}\) Matriks ortogonal tepat merupakan matriks yang mempertahankan panjang vektor. Kita dapat mendefinisikan panjang vektor dengan menggunakan hasil kali dalam Euklides, atau hasil kali titik, dari dua vektor. Hasil kali dalam Euklides dari dua vektor \({\mathbf x}=(x_1, \ldots,
x_n)^\transpose\) dan \({\mathbf y}=(y_1, \ldots, y_n)^\transpose\) adalah
\begin{equation*}
\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle
=
{\mathbf x}^\transpose {\mathbf y}
=
(x_1, x_2, \ldots, x_n)
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n
\end{pmatrix}
=
x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n\text{.}
\end{equation*}
Panjang vektor \({\mathbf x}=(x_1, \ldots,
x_n)^\transpose\) kita definisikan sebagai
\begin{equation*}
\| {\mathbf x} \| = \sqrt{\langle {\mathbf x}, {\mathbf x} \rangle} = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\text{.}
\end{equation*}
Gagasan jarak antara dua vektor berkaitan dengan konsep panjang vektor. Kita mendefinisikan jarak antara dua vektor \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) sebagai \(\| {\mathbf x}-{\mathbf y} \|\text{.}\) Pembuktian proposisi berikut mengenai sifat hasil kali dalam Euklides diserahkan sebagai latihan.