Sebelum mempelajari grup matriks, kita perlu mengingat kembali beberapa fakta dasar dari aljabar linear. Salah satu gagasan paling mendasar dalam aljabar linear ialah transformasi linear. Suatu transformasi linear atau pemetaan linear \(T : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\) adalah pemetaan yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar; yaitu, untuk vektor \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) dalam \({\mathbb R}^n\) serta skalar \(\alpha \in {\mathbb R}\text{,}\)
\begin{align*}
T({\mathbf x}+{\mathbf y}) & = T({\mathbf x}) + T({\mathbf y})\\
T(\alpha {\mathbf y}) & = \alpha T({\mathbf y})\text{.}
\end{align*}
Suatu matriks \(m \times n\) dengan entri dalam \({\mathbb R}\) merepresentasikan transformasi linear dari \({\mathbb R}^n\) ke \({\mathbb R}^m\text{.}\) Jika vektor \({\mathbf x} = (x_1, \ldots,
x_n)^\transpose\) dan \({\mathbf y} = (y_1, \ldots,
y_n)^\transpose\) dalam \({\mathbb R}^n\) kita tuliskan sebagai matriks kolom, maka matriks \(m \times n\)
\begin{equation*}
A
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
memetakan vektor-vektor tersebut secara linear ke \({\mathbb R}^m\) melalui perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika \(\alpha\) suatu bilangan real,
\begin{equation*}
A({\mathbf x} + {\mathbf y} )
=
A {\mathbf x }+ A {\mathbf y}
\qquad \text{dan} \qquad
\alpha A {\mathbf x}
=
A ( \alpha {\mathbf x})\text{,}
\end{equation*}
dengan
\begin{equation*}
{\mathbf x}
=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Kita akan sering menyingkat matriks \(A\) dengan menuliskan \((a_{ij})\text{.}\)